Welcome to Wikilivres! The site has recently moved servers. Please re-register your account.

Из истории метода наложения в элементарной геометрии

Free texts and images.
Jump to: navigation, search

Из истории метода наложения в элементарной геометрии
автор Дмитрий Дмитриевич Мордухай-Болтовской
Впервые опубл.: Математическое образование, 1928, № 3, с. 107-113. Текст приводится по изданию: Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия. Психология. Математика. М.: Серебряные нити, 1998. ISBN 5-89163-009-5.


Евклид и Лежандр

Элементарный учебник геометрии в большей или меньшей мере представляет из себя методическую переработку евклидовых «Начал»[1][2], правда, пополненных некоторым новым материалом. Можно сказать, что изучение геометрии мы начинаем с Евклида. Но только этому положению следует придавать правильный смысл. Верно то, что мы изучаем те теоремы, что большей частью находятся у Евклида, но если глубже вникнуть в евклидовы «Начала», то увидим, что мы далеко отошли от них в самом существенном, в понимании основной проблемы — доказательства выставляемых положений, образующих систему геометрии.

Понятие о сущности математического доказательства подверглось через толще веков глубочайшему изменению, хотя это изменение и не было заметно самим исследователям так, как не заметно старение стареющему человеку. То, что Лежандр считает доказательством, не могло быть признано за доказательство Евклидом и, с другой стороны, Лежандр не мог начать свои «Элементы» с построения равностороннего треугольника, как это делает Евклид.

Не следует думать, что Лежандр[3] в своих упрощенных доказательствах додумался до тех более простых доказательств, которые ускользнули от Евклида. Евклид, очень может быть, знал эти доказательства, но отверг их как негодные, как находящиеся в решительном противоречии с его взглядами на доказательство. Почему ему не поступать так, как Лежандр, при доказательстве основного свойства равнобедренного треугольника, состоящего в том, что углы, противолежащие равным сторонам, равны?

Ведь, кажется, нет ничего проще, как соединить середину стороны <math>BC</math> — <math>D</math> с вершиной <math>A</math> и доказать на основании третьего случая конгруэнтности равенство треугольников <math>ABD</math> и <math>ADC</math>[4].

Между тем, Евклид излагает другое, более сложное доказательство (так называемое elefuga). Ответим: потому, что Евклид признавал существование только тех объектов, которые могут быть построены.

Он потребовал бы от Лежандра указать построение точки <math>D</math> — середины отрезка <math>BC</math>. Но построение это (предл. X, 1 книги) основывается на 9-м положении о делении угла на две равные части, последнее же — на третьем случае конгруэнтности, а третий случай конгруэнтности доказывается от противного на основании 7-го положения[5].

«Если мы соединим концы основания <math>AB</math> с двумя точками <math>C</math> и <math>D</math>, лежащими по одну сторону прямой <math>AB</math>, то расстояния <math>CA</math> и <math>CB</math> точки <math>C</math> от концов основания <math>AB</math> не могут быть равны каждое каждому расстояниям <math>DA</math> и <math>DB</math> от тех же концов <math>AB</math>».

Для доказательства невозможности единовременного существования равенств <math>AC = AD</math>, <math>DB = BC</math> Евклид (черт. 1), пользуясь elefuga, доказывает, что <math>\angle ADC = \angle ACD</math> и вторично применяя elefuga, что <math>\angle CDB = \angle DCB</math>, обнаруживает несовместность этих двух равенств углов, так как <math>\angle ADC > \angle CDB</math> и <math>\angle BCD > \angle ACD</math> (мы берем только тот случай, когда <math>D</math> вне <math>ABC</math>).

И только благодаря коренному изменению требований, предъявляемых к доказательству, Лежандр получает возможность упростить геометрическую систему и перевернуть порядок теорем.

Он начинает с положения:

«Если две стороны одного треугольника равны соответственно сторонам другого и если в то же время угол между первыми более угла, заключенного между вторыми, то третья сторона первого будет больше третьей стороны второго».

Но это только 24-я теорема I книги «Начал» Евклида, т. е. весьма отдаленная от начала теорема, которая доказывается на основании третьего случая конгруэнтности треугольников.

Для доказательства того, что при <math>AB = FG</math>, <math>AC = GH</math>, <math> \angle BAC > \angle FGH </math> также и <math> BC > FH</math> Лежандр[6], откладывая (черт. 2) угол <math>\angle CAD = \angle FGH</math> и <math>AD=FG</math> строит треугольник <math>CAD</math>, равный <math>FGH</math> (на основании 1 случая конгруэнтности), проводит биссектрису <math>AE</math> угла <math>BAD</math> и соединяет <math>E</math> с <math>D</math> и доказывает равенство треугольников <math>BAE</math> и <math>EAD</math>, <math>CD < ED + EC</math> откуда <math>CD < BE+EC</math>, <math>CD < BC</math> или <math>FH < BC</math>.

Эта теорема дает сейчас же возможность вывести (апагогически) третий случай конгруэнтности.

Доказательство это, конечно, не может быть принято Евклидом, ибо построение биссектрисы является необоснованным.

Античное доказательство вовсе не чисто логическое. Античный математик убеждает не одним силлогизмом, но и актом, вычерчивающим геометрическую фигуру.

Выражения Аристотеля[7] очень напоминают Шопенгауэра[8]. Согласно Аристотелю, свойства геометрических фигур открываются приведением к актуальному существованию геометрической фигуры, вызывающим разложение данных фигур. Если фигуры уже даны разложением, то свойство уже очевидно, оно просто видно глазу. Но если они не разложены, то находятся только в потенции (лучше было бы сказать — их знание в потенции).

Почему сумма углов треугольника равна двум прямым?

Потому, что сумма углов, образованных около данной точки на одной линии, равна двум прямым углам. Если образовать внешний угол, продолжая стороны треугольника, непосредственное доказательство очевидно.

Почему угол, вписанный в полуокружность, неизменно прямой? Это потому, что имеет место равенство для трех линий: двух половин основания и прямой, проведенной от центра круга к вершине угла, противолежащего основанию: это то равенство, которое дает возможность познать свойство вписанного угла.

Постулаты

Евклид, как и Аристотель, не задавался целью вывести все свои положения силлогистически из немногих высказанных им определений, постулатов и аксиом. Его целью было лишь убедить читателя в определенных истинах, но он вовсе не считал единственным способом убеждения формально-логический вывод положений из признанных читателем в начале истин. Очевидность (lux naturale, естественный свет) только рационалистами[9] XVII века вполне определенно признана за критерий истинности положений, в аристотелевской же логике[10] она не играет этой роли.

За правильность предпосылок, с которых начинается цепь доказательств, говорит скорее общее их признание, вследствие чего аксиомы и называются χοιναιεννοιαι (communes rationes). Доказательства Евклида вполне отвечают схемам, выработанным софистикой.

В начале следует привести противника к признанию некоторых положений, отнюдь не апеллируя к очевидности, ибо противник мог бы поднять вопрос об относительности понятия очевидности и признать для себя не очевидным то, что для противника — является вполне очевидным.

Более сильным фактором являлась общепризнанность необходимых для дальнейшего положений, необходимость противнику при их отрицании его встать в смешное положение. Отсюда стягивание аксиом к началу сочинения.

Но что такое постулаты, выставленные Евклидом тоже в начале сочинения наряду с аксиомами[11].

Неправильно относить к аксиомам очевидные положения общего характера, т. е. положения, относящиеся к величинам вообще, а не только к геометрическим, какова, например, первая евклидова аксиома: «величины, равные одной и той же, равны между собой», и отождествлять постулаты[12] с геометрическими аксиомами. 11-я аксиома фигурирует иногда 5-м постулатом, а 10-я (о равенстве прямых углов) 4-м, но 12-я (две прямые линии не заключают пространства) и 8-я (о равенстве совпадающих при наложении фигур) — всегда аксиомы.

Только отказавшись от проектирования в прошлое современных формально-логических тенденций, мы будем в состоянии понять, что представляют для Евклида постулаты. Евклид геометрическим объектам вовсе не приписывает идеального существования. Доказывающий какую-либо теорему сам вызывал к существованию геометрическую фигуру, с какового момента она и начинала свое существование.

Признание возможности существования прямой, круга и т. д. являлось равносильным признанию акта, их производящего, что и представляет содержание постулата[13]. Более того, признание этого акта вынуждало признание некоторых истин, например, признание третьим постулатом возможности описания кругов вызывало признание пересекаемости кругов, проходящих, через центры друг друга.

Следующее объяснение дает Геминус[14], согласное с нашим. «Постулат, — говорит он, — представляет требование найти или сделать (fabricari) то, что достигается просто и непосредственно, в чем ум не затрудняется ни в понимании, ни в построении».

Прокл, говоря о различии теорем и проблем и отмечая, что цель первых — познать, вторых — сделать, приводит в соответствие с первыми аксиомы, со вторыми постулаты, определяя последние близко к Геминусу. Гоббс[15] вполне ясно выражает нашу мысль. То, что называется постулатами, это истинные принципы, но не доказательства, а построения поэтому не знания, а потенции.

Метод наложения у Евклида

Большим диссонансом с общими тенденциями «Начал» представляется метод наложения при доказательстве первого случая равенства треугольников, если этот метод понимать так, гак мы обычно его понимаем.

Здесь не мы имеем идеальное существование начерченных геометрических фигур с идеальным их перенесением с одного места на другое, [как обычно считают].

Но мне представляется, что как мы, так и целый ряд предшествующих поколений, совершенно неправильно здесь понимают Евклида.

Положения 2 и 3, предшествующие положению, доказываемому наложением, наводят на мысль, что сам Евклид здесь вовсе не разумеет наложение в нашем лежандровом смысле.

Положение 2-е[16]: Из данной точки <math>A</math> провести прямую, равную данной прямой <math>BC</math>.

Почему Евклид не делает так, как мы делаем и как рекомендовали это делать некоторые авторы XVII века[17]: проведя через <math>A</math> какую-нибудь прямую, не переносят в нашем смысле отрезок <math>BC</math>?

Почему он не может сделать с одним отрезком то, что в четвертом положении он делает с целым треугольником!

Отвечу: потому что он не признает в нашем смысле перенесения, потому что то, что мы считаем перенесением идеального треугольника, — для него является построением тождественного данному треугольника в ином месте, чем он задан.

Евклид строит на <math>AB</math>, на основании первой теоремы «Начал», равносторонний треугольник <math>ABD</math>, из <math>B</math> описывает радиусом <math>BC</math> окружность до пересечения с <math>b</math> в <math>G</math>; из <math>D</math> описывает радиусом <math>DG</math> окружность до пересечения с <math>AD</math> в <math>K</math>. Если бы мы желали «перенести» <math>BC</math> на определенную прямую <math>AL</math>, проходящую через <math>L</math>, то пришлось бы описать еще третью окружность радиусом <math>AK</math> до пересечения с <math>AL</math> в <math>L</math> (согласно предл. 3).

Наложение <math>DEF</math> на <math>ABC</math> представляет:

  1. построение на <math>AB</math> отрезка, равного <math>DE</math>, начиная с <math>A</math>,
  2. проведение другой прямой под тем же наклонением к <math>AB</math>, что <math>AC</math> (согласно 8-му определению — угла), откуда следует, что <math>DF</math> пойдет по <math>AC</math> и
  3. построение отрезка, равного <math>DF</math> на <math>AC</math>, откуда следует, что <math>F</math> совпадет с <math>C</math>. Легко видеть, что в этот момент, т. е. при заключении, что соединение точек <math>E</math> и <math>F</math> прямой, т. е. построение третьей стороны <math>EF</math> дает <math>AB</math>, должен возникнуть скачок. Софист возразит: «Я позволил от одной точки к другой провести прямую, но откуда мы знаем, что в одном случае получится одна, а в другом опять та же прямая?». Здесь становится необходимым подчеркнуть еще одно общепризнанное положение — 12-ю аксиому: «Две прямые не могут заключать пространства».

Идеальное существование геометрических объектов — плод схоластического реализма[18]. Такое существование за ними закрепилось и в математической мысли XVI века. Математик XVI века понимает наложение уже в нашем смысле и обнаруживает тенденцию пользоваться им шире, чем Евклид.

У Клавия мы находим разновидность этого метода, чуждую Евклиду.

Верный духу своего времени, Клавий[19] заменяет косвенное доказательство теоремы 6 1-й книги (обратной elefuga) прямым наложением <math>\triangle ACB</math> на <math>\triangle ABC</math> (<math>\angle B= \angle C</math>), так, что треугольник подвергается мысленному раздвоению. Вместе с тем эволюционирует и само понимание равенства[20]. Это уже не равенство количества, по нашему равновеликость, а тождество форм и размеров; равные фигуры — это тождественные фигуры, помещенные в различных местах.

Аксиома 8-я обращается; наложимость является и достаточным и необходимым условием равенства.

На первый взгляд может показаться, что если Аристотель и Евклид не могли бы признать наложение с переносом идеального треугольника, то такая операция могла бы оказаться во вкусе Платона, объектировавшего идеи и геометрические формы. Видимо, Цейтен[21] так и думает. Он говорит, что математические истины древним представлялись или как теоремы, или как проблемы. Первая точка зрения поддерживалась последователями Платона, думавшими, что проблема только устанавливает то, что уже предварительно существовало, независимо оттого факта, строится оно или нет, более того, построить что-либо, например, разносторонний треугольник, можно только потому, что идея равностороннего треугольника имеет существование, предваряющее всякое построение.

Вторая точка зрения у учеников Евдокса; для них существенное — обнаружение истины построением.

В «Началах» Евклида Цейтен видит примирение этих точек зрения. Но для того, чтобы Платон и его ученики понимали геометрию так, как понимал ее, например, Декарт, для этого мало ему было признать идеальное существование геометрических фигур в каком-то другом мире, (τοποξ νοητοξ[22]) и том мире, бледным отражением или тенью которого является настоящий. Необходимо было признать их в этом мире, в самих вещах. При методе наложения переносится не платоновский идеальный треугольник из другого мира, а на этот, первый тот второй; треугольник и не материальный, а идеальный, который, так сказать, живет в первом.

Рационалисты против метода наложения

С развитием рационалистической[23] логики и гносеологии, философы и математики XVII века становятся в явно враждебное отношение к этому методу доказательства. Этот метод, по их мнению, убеждает с помощью обращения к чувствам, а не к чистому разуму, который только один и является судьей.

Первый случай конгруэнтности доставляет много хлопот. Мы видим ряд попыток замены обычного доказательства наложением — другим, без этой «механической операции», столь противной складу рационалистической мысли.

В «Элементах Евклида» Дешаля[24] евклидово доказательство 8-й теоремы I книги «Начал» предваряет другое, про которое, впрочем, и сам автор говорит: «В виду того, что это доказательство не представляется убедительным, привожу также и обычное (т. е. наложением)». В своем доказательстве Дешаль старается убедить, что расстояние между точками двух пересекающихся прямых может зависеть только от угла между ними и расстояния этих точек от вершины угла.

Томас Симпсон относит первый случай конгруэнтности к аксиомам совершенно также, как Гильберт[25], который в группу аксиом конгруэнтности вводит: III3 Если для двух треугольников <math>ABC</math> и <math>A'B'C'</math> имеют место конгруэнции <math>AB=A'B'</math>, <math>AC=A'C'</math>, <math>\angle BAC = \angle B'A'C'</math>, то всегда имеют место и конгруэнции <math> ABC= A'B'C'</math>, <math>ACB=A'C'B'</math>.

Арно вводит новую аксиому: если две точки прямой равно отстоят от двух точек <math>A</math> и <math>B</math>, то то же относится и ко всем другим точкам прямой. Цель ее введения — не только установка арнольдианского порядка[26], но и освобождение от метода наложения, что достигается Арно тем, что ему приходится пользоваться наиболее простым положением, относящимся к равенству прямоугольных треугольников, избегая слова «треугольник», а именно положением о равенстве прямоугольных треугольников, у которых катеты равны, как чем-то вроде более низкой степени очевидности аксиомы с объяснением, повышающим эту степень[27].

Еще в XVI веке делают опыты построения доказательств равенства треугольников без метода наложения.

Доказательство Кандалы[28] первого случая конгруэнтности треугольников, критикуемое Савилием, состоит в следующем. Так как по предположению в треугольниках <math>ABC, \quad DEF</math> прямые <math>AB</math> и <math>DE</math> равны, то равны и расстояния точек (<math>A</math> и <math>B</math>) и (<math>D</math> и <math>E</math>). (Здесь Кандала берет определение прямых Прокла, которое последний считает эквивалентным евклидовскому, а именно, что прямая линия между двумя точками равна их расстоянию).

С другой стороны, прямые <math>(AB,\, AC)</math> и <math>(DE,\, DF)</math>, как содержащие равные углы, согласно восьмому определению Евклида равнонаклоненны. Так как равенство углов зависит от равенства наклонений, то следует, что (<math>B</math> и <math>C</math>) и (<math>E</math> и <math>F</math>) находятся в тех же расстояниях. Поэтому и прямые <math>BC</math> и <math>EF</math> равны. Но если отдельные элементы (qualilates) треугольников <math>ABC, \quad DEF</math> соответственно равны, то <math>ABC</math> и <math>DEF</math> равны по восьмой аксиоме.

Поэтому и остальные элементы равны, т. е. углы <math>B</math> и <math>C</math> соответственно равны <math>E</math> и <math>F</math>.

Не будем останавливаться на критике Савилия, смотрящего на это доказательство как на неубедительное, как основанное на положениях не более очевидных, чем доказуемое. Заметим только, что из защиты Савилия метода наложения видно, что при выработанной схоластическим реализмом объективации геометрических форм операция наложения сперва не представляется недопустимой. Идеальный треугольник переносится не в действительности, так как его нельзя взять в руки, но только в воображении.

По Савилию[29], это вполне возможно в теореме (но не в проблеме), так как в теореме не требуется никакого действия, требуется только обнаружить истинное или ложное, и нет ничего ложного в том перенесении, которое делаем только одним воображением, а не руками или операцией, употребляемой при построении.

К невозможности перенесения приводит лишь дальнейшее размышление об идеальных объектах, которые объявляются не только не ощущаемыми, но в собственном смысле и не воображаемыми.

Все действия над воображаемыми фигурами представляются как действия не над идеальными фигурами, а образами материальных тел.

Геометрия, наконец, объявляется возможной без чертежа не только конкретного, но и воображаемого.

Примечания

  1. На русском языке: евклидовы «Начала», восемь книг, пер. Ф. Петрушевского, или «Начала Евклида» в пер. Ващенко-Захарченко. Киев. 1880. Пользоваться в виду неточности перевода следует очень осторожно. Хороший перевод: Euclids Elementen funfzehn Buches ubers. L. Lorenz, Halle, 1840.
  2. В 1948-1950 гг. вышли Начала Евклида в перев. автора: Начала Евклида. / Пер.с греч. и комм. Д. Д. Мордухая-Болтовского под ред. М. Я. Выгодского и И. Н. Веселовского. М.-Л.: ГИТТЛ, Т.1. 1948; Т.2 1949; Т.3 1950. — Ред.
  3. Legendre. Elements de Geometrie, Paris, неск. изд ., напр. 1837. Русское издание в переводе Баландина и Бунтац: Лежандр. Основание геометрии и тригонометрии Спб., 1837; в другом издании: Элементарная геометрия Лежандра, Спб. 1879, переработка Blanchet Legendre. Elements de Geometrie, 1813. Серьезная методическая переработка Лежандра — Lacroix. Elements de Geometrie a l’usage de l’ecole Centr., Paris. 1814. Этот учебник лежит в основе всей учебной литературы лежандрова типа.
  4. Это доказательство вошло в употребление значительно раньше «Элементов» Лежандра; см.: например, Coeti. Euclidis elementorumsex libri priores. 1697; «Элементы» Лежандра, кн. I , пред. XII.
  5. «Начала» Евклида, кн. I , пред. VII. «Элементы» Лежандра, кн. I, пред. X . В учебнике Киселева вместо медианы проводится биссектриса («Элементарная геометрия», Москва, 1914, стр. 27, § 38). Таким образом, третий случай равенства общего типа треугольников заменяется первым случаем равенства треугольников; причем, теорема доказывается непосредственно наложением. Конечно, и это доказательство недопустимо с евклидовой точки зрения.
  6. Legendre-Blanchet. Liv. 1. Prop. X (см. Давидов); у Legendre’a изд. 1837 теорема доказана иначе.
  7. Aristotelis. Melaph. Lib. IX, стр. 9. Aristotelis. Opera omnia graece et latine, изд. Didot [имеется русский перевод — ред.].
  8. Шопенгауэр. Мир как воля и представление. Пер. Фета. Т. I, § 15.
  9. Очевидность как критерий истинности. См.: Descartes. De Prima Philosophic IV, p. 25, 34, 39. Regulae ad dirigendum ing. 2 p. 4 (Декарт. 1596—1658. Виндельбанд. I стр. 34), см . Также Arnoldi Geilinx. Logica fundamentalis. Lugd. 1662.
  10. Аналитика Аристотеля. Есть французский перевод: Dernieres Analitiques. Logique d’Arislote trad, par Barthelemy Saint-Hillaire, 1842. О логике Аристотеля см. новую книгу: Ziehen. Lehrbuch der Logik, Bonn. 1920. Bd. 1, § 9.
  11. Euclides-Heiberg. S. 9. 5 постулатов (пятый — о параллельных, иногда относится к аксиомам — 11 аксиома).
  12. О постулатах Евклида см. Hauber . Christomatia Geometrica. Tubingen. 1820. § 127; также Savillus. Praelectiones tredecim Oxoniae, 1820; см . также Brunschwigg. Les etapes de la philosophie mathematique. Paris . 1912, стр. 89. Les postulats . Там же библиография.
  13. Понимание постулата Кантом в логике родственно евклидову. Посту­латом, говорит Кант (Логика I , 2 отд., § 38), называется практическое непосредственно-очевидное положение или принцип, определяющий возможное действие, в котором подразумевается, что способ его выполнения непосредственно очевиден.
  14. Savilli. Praelectiones. О Савилли (1549—1622) см. Cantor. В. II, S. 664, р. 131, также Kastner, 1, 249, III, 19-26; Ball. History of mathematics at Cambridge, p. 29.
  15. Hobbes. De Corpore, ch. VI, S. 13. Lond., 1839, p. 72. [Гоббс. Избранные произведения. M . 1964.]
    Brunschwigg, неправильно считая определения Евклида номинальными, считает, что цель постулатов — придать им реальное значение, и в этом смысле неправильно понимает и Гоббса. Brunschwigg. Les etapes etc. Liv. II. ch. VI, p. 91. О постулатах и аксиомах см. также Кэджори. История элементарной математики. Одесса, 1917, где приводится резюме доклада Vailati, напечатанного в Verhandluingen der dritten intern. Math. Kongress in Heidelberg 1904; см. также Tannery, La Geometrie grecque.
  16. Euclidis-Heiberg, vol. I, p. 11.
  17. Например, Arzet. Clavis Mathemalica, 1635.
  18. О схоластическом реализме см. Haureau. De la philosophic Scolastique. Paris. 1850.
  19. Euclides elemeutonim libri XV auctore Christophoro Clavio.
  20. В теоремах о равенстве треугольников Евклид доказывает: а) равновеликость; б) равенство сторон и углов. Euclides-Heiberg, s. 17: «et triangulus triangulo aequalis erit et reliqui reliquis aequales alter alteri» [треугольники будут равны друг другу и их элементы будут равны друг другу (лат.)].
  21. Zeuthen. Historic des Mathematiques trad. par. Mascart. Paris. 1902, p. 72. [Цейтен. История математики в Древности и в Средние века. М.-Л. 1938.] Взгляды Платона — см. диалоги Тимей, Федон, Республика, Федр, Критон. Аристотель — бесполезность идей: Met. II, 2; Et. I, 4; опровержение: Met. I, 9; XIII, 4, 9; VII, 6. 13.
    Brunsclwigg. Les etapes. Liv. II. Ch. IV, p. 67 см Zeller. Die philosophie der Griechen, II. Teil. II Abh. Die Dialektik der Ideenlehre.
  22. Умное место (греч.). — Ред.
  23. О рационализме см. Bouillier. Historie de la philosophie cartesierme. 1814—1816. О логике Декарта см. Ziehen, t. 1 Cap. 2. § 23. Классическое сочинение по логике рационалистического направления: Арно. L’art de penser (пор-роялевская логика). [А. Арно, П. Николь. Логика, или искусство мыслить. М. 1991.]
  24. Millet Dechales. Elementoram Euclidis. Libri Octo Lugundi 1675. Claude-Fransois Millett-Dechales (1621—1678). Его же. Cursus sen Mundus geometricus, см. Cantor III 4-6, 15.
  25. Гильберт. Основания геометрии (есть на русском языке).
  26. Arnaldus. Nouveaux elements de Geometrie. Paris. 1683.-- Арнольдианские учебники: Varignon. Elements des Mathematiques. Amsterdam. 1734. Rivard. Elements de Mathematiques. Paris. 1750. Camus. Cours de Mathematiques. 1735 и многие другие XVIII века.
  27. Об аксиоме Арно см.: Исследования о происхождении некоторых основных идей современной математики, часть «Аксиоматика XVII в.» — Ред.
  28. Savilli. Praelectiones. Lib . X . p . 196.
  29. Savilli. Praelectiones. Lib . IX , p. 170, p. I.