Die Relativitätstheorie

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Die Relativitätstheorie
written by Albert Einstein
Die Kultur der Gegenwart. Part 3, sec. 3, vol. 1, 703–713. — Source
DIE RELATIVITÄTSTHEORIE.[1]


Von
Albert Einstein.


Es ist kaum möglich, sich ein selbständiges Urteil über die Berechtigung der Relativitätstheorie zu bilden, wenn man nicht einigermaßen die Erfahrungen und Gedankengänge kennengelernt hat, welche dieser Theorie vorangingen. Diese müssen daher zuerst besprochen werden.

Die Erscheinungen der Interferenz und Beugung des Lichtes zwangen die Physiker dazu, das licht als einen wellenartigen Vorgang anzusehen. Bis gegen das Ende des vorigen Jahrhunderts dachte man sich, daß das Licht in mechanischen Schwingungen eines hypothetischen Mediums, des Äthers, bestehe. Da sich das Licht auch im leeren Raume fortpflanzt, ging es nämlich nicht an, jene Wellenvorgänge, die das Licht ausmachen, als Bewegungsvorgänge der ponderabeln Materie anzusehen. Als gegen das Ende des vorigen Jahrhunderts die elektromagnetische Theorie des Lichtes die Oberhand bekam, änderte sich diese Auffassung nur unwesentlich, indem das Licht nicht mehr als eine Bewegung des Äthers, sondern als elektromagnetischer Prozeß im Äther aufgefaßt wurde. Immer hielt man daran fest, daß es neben der ponderabeln Materie noch eine zweite, den Äther, geben müsse, der als Träger des Lichtes aufzufassen sei (vgl. Artikel 26).

Diese Auffassung führte zu der Frage, wie sich dieser Äther in mechanischer Beziehung zur Materie verhalte. Insbesondere erhebt sich die Frage: Beteiligt sich der Äther an den Bewegungen der ponderabeln Materie? Diese Frage führte den genialen Physiker Fizeau zu einem Experiment von fundamentaler Wichtigkeit, das im folgenden kurz schematisch zu besprechen ist.

Fig. 1.

Ein Lichtstrahl L falle auf einen halb durchlässigen Spiegel S1 und werde hier in zwei Teilstrahlen zerlegt. Der erste Teilstrahl gelange über a und b nach Reflexion an dem Spiegel s2 und an dem halb durchlässigen Spiegel S2 nach E. Der zweite Teilstrahl gelange nach Reflexion an S1 und s1 über c und d durch S2 nach E. Bei E gelangen beide Teilstrahlen zur Interferenz; es entstehen Interferenzfransen, deren Abstände von der Justierung des Apparates abhängen. Die Lage dieser Interferenzfransen hängt ab von der Differenz der Zeiten, welche beide Teilstrahlen zum Durchlaufen ihres Weges brauchen. Ändert sich diese [704] Zeitdifferenz auch nur um den Bruchteil 10-8, d. h. um ein Hundertmillionstel der ganzen Wegzeit, so ist dies schon an einer Verschiebung der Interferenzfransen wahrzunehmen.

In die Strecken a und d schaltete Fizeau je eine mit Wasser gefüllte Röhre ein, welche von den Teilstrahlen ihrer Länge nach durchsetzt wurde. Jede dieser Röhren war an ihren Enden mit Ansatzstutzen versehen, so daß es möglich war, Wasser axial durch die Röhren zu leiten. Zweck des Experimentes war, zu erkennen, was für einen Einfluß die Geschwindigkeit der Wasserströmung auf die Lage der Interferenzfransen habe. Aus diesem Einfluß konnte berechnet werden, wie rasch sich relativ zur ruhenden Röhre das Licht durch das bewegte Wasser fortpflanzt.

Angenommen, der Lichtäther beteilige sich an den Bewegungen der Materie, also hier an der Bewegung des Wassers, so war folgendes zu erwarten für den Fall, daß das Wasser auf der Strecke a im Sinne der Lichtfortpflanzung mit der Geschwindigkeit v strömt. Die Geschwindigkeit der Lichtfortpflanzung relativ zu dem Wasser wäre immer gleich derselben Größe V0, ob das Wasser strömt oder nicht. Die Lichtgeschwindigkeit V relativ zur Röhre müßte aber um die Strömungsgeschwindigkeit v des Wassers größer sein als V0. Es wäre also zu erwarten

V - V0 = v.

Da V - V0 aus der Verschiebung der Interferenzfransen bestimmbar, die Wassergeschwindigkeit v aber unmittelbar bekannt war, so erlaubte das Fizeausche Experiment eine Prüfung dieser Formel. Letztere wurde aber vom Experiment nicht bestätigt. Es ergab sich, daß die Differenz V - V0 kleiner ist als v. Versuche mit verschiedenen Flüssigkeiten zeigten, daß diese Differenz nicht nur von v, sondern auch vom Brechungsindex n der Flüssigkeit[2] abhänge gemäß der Formel

<math>V-V_{0}=v\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right).</math>

Aus diesem Resultat geht hervor, daß die Hypothese unhaltbar ist, nach welcher der Lichtäther die Bewegungen der Materie einfach mitmacht. Man entnimmt der angegebenen Formel die interessante Folgerung, daß eine Flüssigkeit, welche das Licht ungebrochen ließe (n = 1), die Ausbreitung des sie durchsetzenden Lichtes auch dann nicht beeinflussen würde, wenn sie bewegt ist

Die nächst einfache Hypothese ist die, daß sich der Lichtäther an den Bewegungen der Materie überhaupt nicht beteilige (Hypothese des „ruhenden“ Äthers). Auf diese Hypothese hat H.A. Lorentz eine Theorie der elektromagnetischen und optischen Erscheinungen gegründet, welche nicht nur das angegebene Resultat des Fizeauschen Versuches ganz ungezwungen ergab, sondern auch allen anderen Erfahrungsresultaten der Elektromagnetik und Optik bewegter Körper gerecht wurde. Nach dieser Theorie sind die elektromagnetischen Gesetze des Äthers vom Bewegungszustande der Materie unabhängig. Die Materie steht nur dadurch in Wechselwirkung mit dem Äther, daß [705] sie als Träger elektrischer Massen aufzufassen ist, deren Bewegungen die elektromagnetischen Vorgänge im Äther erzeugen und beeinflussen. (vgl. Artikel 15).

Daß der Lorentzschen Theorie (Theorie des ruhenden Lichtäthers) ein bedeutender Wahrheitsgehalt zukommen müsse, darüber bestand bei den Physikern kein Zweifel. Aber eine Seite hatte diese Theorie, die nicht verfehlen konnte, die Physiker mißtrauisch zu machen. Dies soll im folgenden dargelegt werden.

Es ist eine alte Erfahrung, die bisher ausnahmslos sich bewahrheitet hat, daß die physikalischen Erscheinungen nur von den Bewegungen der Körper relativ zueinander abhängen, daß es vom physikalischen Standpunkte aus keine absolute Bewegung gibt. Wir wollen diesen Charakter der physikalischen Erfahrung noch etwas schärfer präzisieren. Wo in der Physik räumliche Angaben eine Rolle spielen, bedeuten diese stets eine Angabe über die relative Lage irgendeines Gegenstandes oder Merkmales relativ zu einem festen Körper. Wir beschreiben die Lage eines Dinges relativ zu einer Glasröhre, einem Holzgestell, der Wandung eines Zimmers, der Erdoberfläche usw. In der Theorie ist das Koordinatensystem der Repräsentant jenes festen Körpers. Es ist dies ein gedachtes starres Gerüst, welches stets durch einen wirklichen festen Körper zu ersetzen ist, wenn es gilt, die Richtigkeit eines theoretischen Resultates zu prüfen, in welchem räumliche Angaben vorkommen. Das Koordinatensystem des Physikers bedeutet also einen wirklichen starren Körper, auf welchen die zu studierenden Erscheinungen zu beziehen sind.

Wir nehmen nun irgendein einfaches Naturgesetz vor, in dem räumliche Angaben vorkommen, z. B. das bekannte Trägheitsgesetz Galileis: Ein materieller Punkt, auf den äußere Kräfte nicht wirken, bewegt sich gleichförmig in gerader Linie. Es ist klar, daß dies Gesetz nicht gelten kann, wenn man die Bewegung auf ein beliebig bewegtes (z. B. in beliebiger Drehbewegung begriffenes) Koordinatensystem bezieht. Wir müssen das Galileische Grundgesetz daher so aussprechen: Es ist möglich, ein Koordinatensystem K von solchem Bewegungszustande zu wählen, daß sich relativ zu ihm jeder kräftefrei bewegte materielle Punkt geradlinig und gleichförmig bewegt. Natürlich gilt der Satz dann auch für alle anderen, relativ zu K ruhenden Koordinatensysteme.

Gälte das Galileische Grundgesetz für kein Koordinatensystem, das sich relativ zu K in Bewegung befindet, so wäre der Bewegungszustand von K gegenüber allen anderen Bewegungszuständen ausgezeichnet. Wir könnten diesen Bewegungszustand zweckmäßig als den der absoluten Ruhe bezeichnen. Eine einfache Überlegung lehrt aber, daß jeder kräftefrei bewegte materielle Punkt nicht nur in bezug auf K das Galileische Grundgesetz erfüllt, sondern relativ zu jedem Koordinatensystem K', das sich relativ zu K in gleichförmiger Translationsbewegung befindet. Die Gesetze der Mechanik gelten gegenüber solchen Systemen K' genau ebenso wie relativ zu K. Es gibt eine Gesamtheit relativ zueinander gleichförmig bewegter Koordinatensysteme, welche für die Formulierung der Gesetze der Mechanik genau gleichberechtigt sind. Diese Gleichberechtigung der relativ zueinander gleichförmig bewegten Systeme K und K' [706] ist aber nicht auf die Mechanik beschränkt. Sie gilt, soweit unsere Erfahrung reicht, allgemein. Die Voraussetzung von der Gleichberechtigung aller derartigen Systeme K, K' durch welche die Bevorzugung eines Bewegungszustandes gegenüber allen anderen ausgeschlossen wird, wollen wir als das „Relativitätsprinzip“ bezeichnen.

Die Lorentzsche Theorie erweckt nun unser Mißtrauen dadurch, daß sie dem Relativitätsprinzip zu widersprechen scheint. Dies zeigt folgende Überlegung. Nach der Lorentzschen Theorie hat die Bewegung der Materie keine Bewegung des Lichtäthers zur Folge. Dessen Teile befinden sich vielmehr in relativer Ruhe Zueinander. Wählen wir ein Koordinatensystem K, welches relativ zu dem Äther ruht, so ist dies Koordinatensystem K gegenüber allen relativ zu K bewegten Koordinatensystemen K' bevorzugt. Die Theorie entspricht also dem Relativitätsprinzip nicht. Wir können diese Betrachtung auch anstellen, ohne von dem Begriff des Lichtäthers Gebrauch zu machen. Nach der Lorentzschen Theorie gibt es ein Koordinatensystem K, relativ zu welchem sich jeder Lichtstrahl im Vakuum mit der bestimmten konstanten Geschwindigkeit c fortpflanzt. Beziehen wir einen solchen Lichtstrahl auf ein relativ zu K bewegtes — etwa in der Fortpflanzungsrichtung des Lichtes bewegtes — Koordinatensystem K', so fühlen wir uns anschaulich dazu gezwungen, anzunehmen, daß derselbe Lichtstrahl relativ zu K' eine andere Fortpflanzungsgeschwindigkeit besitze. Es würde also — im Widerspruch mit dem Relativitätsprinzip — zu folgern sein, daß das Koordinatensystem K gegenüber allen relativ zu ihm bewegten Koordinatensystemen K' bevorzugt sei.

Wir wollen jene fundamentale Aussage der Lorentzschen Theorie, daß jeder Vakuumlichtstrahl sich (wenigstens in bezug auf ein bestimmtes Koordinatensystem K) stets mit der bestimmten konstanten Geschwindigkeit c ausbreite, als das Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit bezeichnen. Die vorhin angegebene Schwierigkeit der Lorentzschen Theorie besteht darin, daß das Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit mit dem Relativitätsprinzip unvereinbar zu sein scheint.

Die Erfolge der Lorentzschen Theorie waren so bedeutende, daß die Physiker unbedenklich das Relativitätsprinzip fallen gelassen hätten, wenn nicht ein wichtiges experimentelles Resultat vorgelegen wäre, von dem wir nun sprechen müssen, nämlich das Experiment von Michelson.

Hält man, der Lorentzschen Theorie entsprechend, daran fest, daß es ein bevorzugtes Koordinatensystem K gebe, in welchem die Vakuumlichtgeschwindigkeit gleich c sei, so kann man nicht annehmen, daß die Erde relativ zu diesem Koordinatensystem in Ruhe sei. Denn man kann dann nicht annehmen, daß der (ruhende) Äther an der Bewegung der Erde um die Sonne teilnehme. Mindestens während eines Teiles des Jahres müssen wir also gegenüber dem System K eine Geschwindigkeit von der Größenordnung 30 km pro Sekunde besitzen. Es ergibt sich hieraus die Aufgabe, diese Relativbewegung unserer Laboratorien und Apparate gegenüber K bzw. gegenüber dem Äther nachzuweisen. Eine große Anzahl von Versuchen wurde ausgeführt, um diese Relativbewegung [707] nachzuweisen. Man ging dabei von der Überlegung aus, daß die Orientierung empfindlicher optischer Apparate gegenüber der Richtung jener Relativbewegung auf den optischen Vorgang von Einfluß sein müsse. Es wollte aber durchaus nicht gelingen, eine derartige bevorzugte Richtung experimentell nachzuweisen.

Die meisten dieser negativen Befunde bewiesen aber nichts gegen die Theorie. H. A. Lorentz zeigte durch eine überaus geistvolle theoretische Untersuchung, daß die Relativbewegung in erster Annäherung ohne Einfluß sei auf den Strahlengang bei beliebigen optischen Versuchen. Nur ein optischer Versuch blieb übrig, bei dem die Methode so überaus empfindlich war, daß auch nach H.A. Lorentz' theoretischer Analyse der negative Ausgang des Experimentes unbegreiflich blieb. Es war dies der schon erwähnte Versuch Michelsons, dessen Anordnung im wesentlichen die folgende war.

Fig. 2.

Der Lichtstrahl L einer Lichtquelle G gelangt zunächst auf einen halb Experiment durchlässigen Spiegel S, wo er in zwei Teilstrahlen zerlegt wird. Der erste derselben geht nach dem Spiegel s1, wird an diesem reflektiert, gelangt wieder nach S zurück und wird hierauf (z.T.) nach E reflektiert; der zweite Teilstrahl geht nach s2, wird dort reflektiert, gelangt wieder nach S zurück und kommt nach Passieren von S ebenfalls nach E. Bei E kommen beide Teilstrahlen zur Interferenz. Die ganze beschriebene Anordnung war auf einer Steinplatte montiert, die auf Quecksilber schwamm, so daß die Anordnung als Ganzes relativ zur Richtung der hypothetischen Bewegung der Erde gegen den Lichtäther in verschiedene Lagen gebracht werden konnte. Nach der Theorie hätte die Änderung der Orientierung der Steinplatte einen Einfluß auf die Lage der Interferenzfransen bei E ausüben sollen, der groß genug war, um konstatiert zu werden. Der Versuch verlief aber negativ.

Um das negative Resultat dieses Versuches mit der Theorie in Einklang zubringen, schlugen H.A. Lorentz und FitzGerald die Hypothese vor, daß die Steinplatte mit allen darauf montierten Gegenständen in der Richtung der Erdbewegung eine winzige Verkürzung erfahre, und zwar von solcher Größe, daß der zu erwartende Effekt durch einen entgegengesetzten Effekt infolge jener Verkürzung kompensiert wird.

Diese Art und Weise, Versuchen mit negativem Ausgange durch ad hoc ersonnene Hypothesen theoretisch gerecht zu werden, ist sehr unbefriedigend. Es drängt sich die Auffassung auf, daß jener Relativbewegung der Erde gegen das System K keinerlei Realität zukomme, d. h. daß es prinzipiell unmöglich sei, eine derartige Relativbewegung nachzuweisen. Anders ausgedrückt: wir kommen zu der Überzeugung, daß das Relativitätsprinzip allgemein und streng gelte. Anderseits scheint — wie bereits bemerkt — das Fundament der Lorentzschen Theorie und damit auch das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit mit dem Relativitätsprinzip unvereinbar zu sein. Wer sich [708] aber eingehend mit Versuchen geplagt hat, die Lorentzsche Theorie durch eine andere zu ersetzen, die den experimentellen Tatsachen gerecht wird, der wird zugeben, daß dies Beginnen bei dem heutigen Stande unseres Wissens geradezu aussichtslos erscheint.

Bei dieser Sachlage muß man sich nochmals die Frage vorlegen, ob die Lorentzsche Theorie bzw. das Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit mit dem Relativitätsprinzip wirklich unvereinbar sei. Eine genaue Prüfung ergibt, daß beide Prinzipe miteinander vereinbar sind, daß die Lorentzsche Theorie dem Relativitätsprinzip nicht widerstreitet. Aber es muß dafür unsere Auffassung von Zeit und Raum einer tiefgreifenden Änderung unterzogen werden. Daß wir ferner auf die Einführung eines Lichtäthers in die Theorie zu verzichten haben, ist leicht einzusehen. Denn wenn jeder Vakuumlichtstrahl sich in bezug auf K mit der Geschwindigkeit c fortpflanzen soll, so müssen wir jenen Lichtäther als in bezug auf K überall ruhend denken. Wenn aber die Gesetze der Lichtfortpflanzung in bezug auf das (relativ zu K bewegte) System K' dieselben sind, wie in bezug auf K, so müßten wir mit demselben Rechte die Existenz eines in bezug auf K' ruhenden Lichtäthers annehmen. Da es absurd ist, anzunehmen, der Lichtäther ruhe gleichzeitig in bezug auf beide Systeme, und da es kaum minder absurd wäre, in der Theorie eines der beiden (bzw. unendlich vielen) physikalisch gleichwertigen Systeme vor dem anderen auszuzeichnen, so muß man auf die Einführung jenes Begriffes verzichten, der ohnehin nur nutzloses Beiwerk der Theorie war, seitdem man auf eine mechanische Deutung des Lichtes verzichtet hatte.

Es wurde schon gezeigt, daß das Koordinatensystem, was seine Interpretation in der theoretischen Physik anlangt, nichts anderes ist, als ein starres Meßgerüst, an welchem mit Hilfe von starren Stäben die Werte der Raumkoordinaten abzutragen sind. Wir müssen uns jetzt noch die Frage vorlegen, welches die physikalische Bedeutung zeitlicher Angaben ist, die in der Physik in Verbindung mit räumlichen Angaben allgemein aufzutreten pflegen. Diese Frage soll nun untersucht werden.

Die Zeit pflegen wir mit einer Uhr zu messen. Eine Uhr nennen wir dabei ein System, welches genau denselben Vorgang automatisch wiederholt. Die Anzahl der bereits abgelaufenen Vorgänge dieser Art, von einem beliebigen an gerechnet, ist die Zeitangabe der Uhr. Diejenige Zeitangabe der Uhr, welche mit einem Ereignis gleichzeitig ist, nennen wir die mit der Uhr gemessene Zeit des Ereignisses.

Es sei nun am Anfangspunkte unseres Koordinatensystems (x = y = z = o) eine Uhr U0 aufgestellt, und es finde an einer diesem Anfangspunkt ganz benachbarten Stelle irgendein Ereignis statt. Dann sind wir — wie jeder zugeben wird — erfahrungsgemäß in der Lage, die mit dem Ereignis gleichzeitige Uhrzeit, d. h. die Zeit des Ereignisses (bezogen auf unsere Uhr) anzugeben. Ist aber der Ort des Ereignisses von dem Orte, an dem die Uhr aufgestellt ist, weit entfernt, so sind wir nicht unmittelbar imstande, die mit dem Ereignis gleichzeitige Uhrangabe zu ermitteln. Denn ein bei der Uhr stehender Beobachter [709] kann das Ereignis nicht unmittelbar, sondern nur durch Vermittlung irgendeines Zwischenprozesses (Signal) wahrnehmen, der durch das Ereignis veranlaßt wird und sich bis zu dem Beobachter hin fortpflanzt (z. B. durch Lichtstrahlen). Der Beobachter bestimmt nur die Zeit der Ankunft des Signals, aber nicht die Zeit des Ereignisses. Die letztere könnte er nur dann ermitteln, wenn er die Zeitdauer kennen würde, welche das Signal unterwegs war. Diese Zeitdauer mittels der im Anfangspunkte von K aufgestellten Uhr U0 zu ermitteln, ist aber prinzipiell unmöglich. Wir können mit einer Uhr nur solche Ereignisse unmittelbar zeitlich werten, die unmittelbar neben der Uhr stattfinden.

Befindet sich an dem Orte, an dem das Ereignis stattfand, auch eine Uhr (U1) — wir wollen gleich annehmen, eine Uhr von genau gleicher Beschaffenheit wie die andere — , und stand ein Beobachter daneben, der die Zeit des Ereignisses an jener Uhr bestimmte, so nützt uns dies zunächst ebenfalls noch nichts. Denn wir sind zunächst außerstande, die zu der abgelesenen Angabe der Uhr U1 gleichzeitige Angabe der Uhr U0 zu ermitteln. Man ersieht hieraus, daß es für eine Definition der Zeit noch eine physikalische Definition der Gleichzeitigkeit bedarf. Ist diese gegeben, so ist die gesuchte physikalische Definition der Zeit vollständig.

Es bedarf mit anderen Worten noch einer Vorschrift, gemäß welcher die Uhr U1 nach der Uhr U0 zu richten ist. Diese geben wir in folgender Weise. Es sei irgendein Mittel gegeben, um vom Anfangspunkte O des Systems K nach dem Orte E von U1 und umgekehrt von E nach O Signale zu senden, von der Art, daß das Signal O-E und das Signal E-O ganz gleichwertige physikalische Vorgänge seien. Dann können und wollen wir fordern, daß die Uhren U0 und U1 so zu richten seien, daß beide Signale — mit diesen Uhren gemessen — dieselbe Zeit brauchen. Es sei

t0 die U0-Zeit der Aussendung des Signals O-E
t1 " U1-" " Ankunft " " O-E
t1' " U1-" " Aussendung " " E-O
t0' " U0-" " Ankunft " " E-O

so soll die Uhr U1 so gerichtet werden, daß die Bedingung

t1 - t0 = t0' - t1'

erfüllt ist.

Wir können nun in beliebigen Punkten des Koordinatensystems K solche Uhren aufstellen und sie alle nach der Uhr U0 gemäß der angegebenen Vorschrift richten. Dann können bei allen jenen Punkten Ereignisse zeitlich gewertet werden.

Bei der angegebenen Definition ist auf eines besonders zu achten. Wir benutzten zur Definition der Zeit ein System von relativ zum System K ruhenden Uhren. Diese Definition hat also nur Bedeutung mit Bezug auf ein Koordinatensystem K von bestimmtem Bewegungszustande. Führt man außer dem Koordinatensystem K ein zweites Koordinatensystem K' ein, welches relativ zu K in gleichförmiger Translationsbewegung ist, so können wir mit Bezug auf K' ebensogut eine Zeit definieren wie vorher mit Bezug auf K. [710] Aber es ist nicht a priori evident, daß zwischen den Angaben dieser beiden Uhrensysteme sich Übereinstimmung herstellen lasse. Es spricht a priori nichts dafür, daß zwei in bezug auf K gleichzeitige Ereignisse auch in bezug auf K' gleichzeitig sein müssen. Dies ist es, was man unter „Relativität der Zeit“ versteht.

Es Zeigt sich nun, daß das Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit und das Relativitätsprinzip nur so lange miteinander unvereinbar sind, als man an dem Postulat der absoluten Zeit, d. h. an der absoluten Bedeutung der Gleichzeitigkeit festhält. Läßt man aber die Relativität der Zeit zu, so zeigt sich, daß beide Prinzipe miteinander vereinbar sind; man gelangt dann, von diesen beiden Prinzipen ausgehend, zu derjenigen Theorie, die als „Relativitätstheorie“ bezeichnet wird.

Fig. 3.

Die Grundaufgabe, die sich an diese Auffassungsweise knüpft, ist folgende: Es seien zwei Koordinatensysteme K und K' gegeben. K' befinde sich im Zustande gleichförmiger Translation in bezug auf K, v sei die Geschwindigkeit dieser Bewegung. Es seien Ort und Zeit eines beliebigen Ereignisses (d. h. die Koordinaten x, y, z und die Zeit t) in bezug auf K gegeben. Man suche Ort und Zeit (x', y', z', t') in bezug auf K'. Dabei seien die Lagen der Koordinatenachsen beider Systeme der Einfachheit wegen so gewählt, wie die nebenstehende Figur erkennen läßt.

Die bisherige Kinematik löst diese Aufgabe durch folgende Gleichungen:

x' = x - vt
y' = y
z' = z
t' = t.

Die letzte dieser Gleichungen spricht die Voraussetzung aus, daß die Zeitangaben eine vom Bewegungszustand unabhängige Bedeutung haben (Voraussetzung der „absoluten Zeit“). Es steckt aber noch eine implizite Voraussetzung in diesen Gleichungen, die wir kennen lernen müssen. Die Figur stellt Lage und Bewegungszustand beider Systeme K und K' dar, wie diese von K aus betrachtet erscheinen. Man fasse nun einen Punkt P' auf der x'-Achse ins Auge, dessen Entfernung von O' gleich l' sei. Das heißt: Ein mit K' bewegter Beobachter muß seinen Meterstab längs der x'-Achse l' mal auftragen, um von O' nach P' zu gelangen. Beobachter, die sich im System K in Ruhe befinden, werden aber anders verfahren müssen, um die Entfernung O' P' zu beurteilen. Sie bestimmen diejenigen Raumpunkte im System K, in welchen sich O' und P' zu einer bestimmten Zeit (des Systems K) befinden. Die nachträglich durch Abtragen des Meterstabes längs der x-Achse von K ermittelte Distanz l dieser beiden Punkte ist die gesuchte Länge. Man sieht, daß beide Verfahren grundsätzlich verschieden sind, so daß es a priori möglich ist, daß deren Zahlenergebnisse l und l' voneinander verschieden sind. Man sieht hieraus, daß es a priori nicht abgewiesen werden kann, daß auch dem Begriffe der räumlichen Distanz [711] nur eine relative Bedeutung zukomme. Wir sind also genötigt, neben der „Relativität der Zeit“ auch eine „Relativität der Längen“ zuzulassen.

Damit ist die Grundlage, auf welcher die angegebenen Transformationsgleichungen für Raumkoordinaten und Zeitwerte ruhen, erschüttert. An Stelle dieser Gleichungen treten in der Relativitätstheorie solche, die dem Prinzip der Relativität und dem Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit gleichzeitig gerecht werden. Man findet die neuen Gleichungen, indem man die Bedingung mathematisch formuliert, daß jeder Lichtstrahl in beiden Systemen K und K' sich mit derselben Geschwindigkeit c ausbreitet. Man gelangt so zu den Transformationsgleichungen

<math>x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}</math>
y' = y
z' = z

<math>t'=\frac{t-\frac{v}{c^{2}}x}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}.</math>

Aus der letzten der Gleichungen erkennt man, daß die Gleichheit der Zeitwerte (Gleichzeitigkeit) zweier Ereignisse in bezug auf K die Gleichheit der Zeitwerte (Gleichzeitigkeit) der nämlichen Ereignisse in bezug auf K' im allgemeinen nicht zur Folge hat. Die absolute Bedeutung der Gleichzeitigkeit geht also verloren.

Wir fragen ferner: Wie groß ist die Länge l eines Stabes — vom System K aus betrachtet — der in bezug auf K' ruht, der x'-Achse parallel orientiert ist und in bezug auf K' die Länge l' besitzt ? Die erste der Gleichungen ergibt die Antwort[3]

<math>l=l'\cdot\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}.</math>

Dies bedeutet folgendes. Ein Stab besitze, ruhend gemessen, die Länge l', dann besitzt er, falls er mit der Geschwindigkeit v längs seiner Achse bewegt ist, für einen nicht mitbewegten Beobachter die kleinere Länge <math>l=l'\cdot\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}</math>, wogegen er für einen mitbewegten Beobachter nach wie vor die Länge l' besitzt. Die Länge l ist desto kleiner, je größer die Geschwindigkeit v des bewegten Stabes gewählt wird. Nähert sich v der Lichtgeschwindigkeit c, so nähert sich die Länge des Stabes dem Werte Null. Für Werte von v, die die Lichtgeschwindigkeit übertreffen, wird unser Resultat sinnlos; solche Bewegungsgeschwindigkeiten sind nach der Relativitätstheorie unmöglich. Man [712] sieht, daß die oben erwähnte Hypothese von H. A. Lorentz und FitzGerald zur Erklärung des Michelsonschen Versuches als Konsequenz der Relativitätstheorie resultiert. Nach letzterer würden anderseits relativ zu K ruhende Körper — von K' aus beurteilt — genau dieselbe Verkürzung aufweisen wie in K' ruhende Körper, wenn dieselben von K aus beurteilt werden.

Eine wichtige Konsequenz aus unseren Gleichungen erhält man ferner wie folgt. Im Anfangspunkte von K' befinde sich eine Sekundenuhr. Für diese ist dauernd x' = 0, und es finden ihre Sekundenschläge zu den Zeiten t' = 0, 1, 2, 3 usw. statt. Die erste und vierte unserer Gleichungen liefern für die Zeiten t = <math>\frac{0}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}</math>, <math>\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}</math>, <math>\frac{2}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}</math> usw. Von K aus beurteilt ist also die Zeit zwischen zwei Schlägen der Uhr gleich <math>\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}</math>, also länger als eine Sekunde. Eine mit der Geschwindigkeit v wandernde Uhr geht — von einem nicht mitbewegten System aus beurteilt — langsamer, als dieselbe Uhr, falls sie nicht wandert.

Verallgemeinernd kann man schließen: Jegliches Geschehen in einem physikalischen System wird verlangsamt, wenn diesem System eine Translationsbewegung erteilt wird. Diese Verlangsamung findet aber nur statt vom Standpunkte eines nicht mitbewegten Koordinatensystems (Beobachters).

Ist die Relativitätstheorie für die Weiterentwicklung der Physik von Bedeutung, abgesehen davon, daß sie das oben auseinandergesetzte Dilemma löst? Diese Frage ist aus folgendem Grunde zu bejahen. Nach der Relativitätstheorie sind die Systeme K und K' gleichberechtigt, und es sind Koordinaten und Zeitwerte beider Systeme durch die angegebenen Gleichungen verknüpft. Ist eine allgemeine physikalische Theorie mit Bezug auf K formuliert, so kann man mit Hilfe der Transformationsgleichungen statt der Größen x, y, z, t die Größen x', y', z', t' die Gleichungen einführen. Es resultiert dann ein auf K' bezogenes Formelsystem. Letzteres muß nach dem Relativitätsprinzip genau übereinstimmen mit dem mit Bezug auf K formulierten Formelsystem, mit dem einzigen Unterschiede, daß x, y, z, t durch x', y', z', t' ersetzt sind. Die Relativitätstheorie liefert also ein allgemeines Kriterium für die Zulässigkeit einer physikalischen Theorie.

Wir wollen kurz aufzählen, was der Relativitätstheorie bisher an Einzelresultaten verdanken ist. Sie liefert eine einfache Theorie des Dopplerschen Prinzipes, der Aberration, des Versuches von Fizeau. Sie ergibt die Zulässigkeit der Maxwell-Lorentzschen Feldgleichungen auch in der Elektrodynamik bewegter Körper. Die Gesetze der Ablenkbarkeit rascher Kathodenstrahlen und der ihnen wesensgleichen β-Strahlen der radioaktiven Substanzen, überhaupt die Bewegungsgesetze rasch bewegter materieller Punkte lassen sich mit Hilfe der Relativitätstheorie ohne Herbeiziehung besonderer Hypothesen aufstellen.

Das wichtigste Ergebnis, welches die Relativitätstheorie bisher ergeben [713] hat, ist aber eine Beziehung zwischen der trägen Masse physikalischer Systeme und deren Energieinhalt. Ein Körper besitze in einem gewissen Zustande die träge Masse M. Führt man ihm die Energiemenge E auf irgendeine Weise zu, so steigt dadurch seine träge Masse nach der Relativitätstheorie auf <math>M+\frac{E}{c^{2}}</math>, wobei c die Lichtgeschwindigkeit bedeutet. Das bisher festgehaltene Gesetz von der Erhaltung der Masse wird dadurch modifiziert und mit dem Energieprinzip zu einem Gesetz verschmolzen. Es wird durch das Ergebnis nahegelegt, die träge Masse M eines Körpers als einen Energieinhalt von der Größe Mc² aufzufassen. Eine direkte experimentelle Bestätigung dieses wichtigen Ergebnisses besitzen wir bis jetzt nicht; wohl aber kennen wir Spezialfälle, für welche die Gültigkeit des „Satzes von der Trägheit der Energie“ auch ohne Relativitätstheorie gefolgert werden kann.

Die Entwicklung der Relativitätstheorie wurde sehr gefördert durch H. Miskowskis mathematische Formulierung der Grundlagen. Minkowski ging davon aus, daß in die Grundgleichungen der Relativitätstheorie die „Zeitkoordinate“ in genau der gleichen Form eingeht wie die Raumkoordinaten, wenn man an Stelle von t die proportionale imaginäre Größe <math>\sqrt{-1}ct</math> einführt. Es werden dadurch die Gleichungen der Relativitätstheorie Gleichungen in einem vierdimensionalen Räume; und zwar unterscheiden sich die formalen Eigenschaften dieses vierdimensionalen Raumes lediglich durch die Dimensionszahl von den formalen Eigenschaften des Raumes der Euklidischen Geometrie.

Endlich noch eine wichtige Frage: Besitzt die Relativitätstheorie unbeschränkte Gültigkeit? Hierüber sind die Ansichten auch der Anhänger der Relativitätstheorie noch geteilt. Die Mehrzahl derselben ist der Meinung, daß die Sätze der Relativitätstheorie — insbesondere deren Auffassung von Zeit und Raum — unbeschränkte Gültigkeit beanspruchen dürfen.

Der Verfasser dieser Zeilen ist aber der Ansicht, daß die Relativitätstheorie noch einer Verallgemeinerung bedarf, in dem Sinne, daß das Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit fallen zu lassen ist. Nach dieser Meinung ist jenes Prinzip nur für Gebiete von praktisch konstantem Gravitationspotential aufrecht zu erhalten. Die Zukunft muß lehren, ob diese in der Hauptsache auf erkenntnistheoretische Gründe sich stützende Ansicht sich bewähren wird.

Literatur.

Eine vorzügliche Darstellung des Gegenstandes enthält: Physikalisches über Raum und Zeit von E. Cohn, 2. Aufl. B.G.Teubner. 1913.


  1. Eine von dem Nachstehenden abweichende Auffassung wird im Artikel 1 dieses Bandes vertreten.
  2. n= (Lichtgeschwindigkeit im Vakuum)
    (Lichtgeschwindigkeit im Medium)
  3. Für die beiden Stabenden gelten nämlich für die x Koordinaten der Stabenden die Gleichungen <math>x_{1}'=\frac{x_{1}-vt}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}</math>, <math>x_{2}'=\frac{x_{2}-vt}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}</math>, woraus durch Subtraktion folgt:
    <math>x_{2}'-x_{1}'=\frac{x_{2}-x_{1}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}</math> oder <math>l=l'\cdot\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}</math>.

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