Die Wellenstrahlung einer bewegten Punktladung nach dem Relativitätsprinzip

Free texts and images.
Jump to: navigation, search

Die Wellenstrahlung einer bewegten Punktladung nach dem Relativitätsprinzip
written by Max von Laue
Verhandlungen Deutsche Physikalische Gesellschaft 10 (21): 838-844, 1908, Source: Internet Archive

(Vorgetragen in der Sitzung vom 23. Oktober 1908.)


Die Wellenstrahlung einer bewegten Punktladung wurde auf Grund der Elektronentheorie schon vor einer Reihe von Jahren von Heaviside[1] und besonders ausführlich von Abraham[2] behandelt. Die Relativitätstheorie hat schon Lorentz[3] zur Ermittelung des Feldes eines schwingenden Dipols verwandt, ohne jedoch die ausgestrahlte Energie und Bewegungsgröße, sowie die Rückwirkung der Strahlung auf den Dipol anzugeben. Nun stimmen beide Theorien in den elektromagnetischen Grundgleichungen, sowie im Ausdruck für die ponderomotorische Kraft überein. Der Unterschied liegt allein in der Form, die sie den bewegten Ladungen zuschreiben; denn die eine nimmt diese als durch die Bewegung nicht beeinflußt an, während sie sich nach der anderen in Richtung der Geschwindigkeit kontrahieren. Aber dieser Unterschied kann in Entfernungen, die gegen die Dimensionen des mit Ladung erfüllten Raumteils groß genug sind, nicht mehr in Frage kommen, beide Theorien müssen hier dasselbe elektromagnetische Feld, daher dieselbe ausgestrahlte Energie und Bewegungsgröße, dieselbe auf das Elektron wirkende Kraft ergeben. Wenn wir dennoch die Frage hier neu behandeln, so geschieht es, um zu zeigen, wie viel einfacher die Relativitätstheorie sie löst Außerdem besteht freilich zwischen beiden Theorien ein gewichtiger, die vom Relativitätsprinzip geforderte Trägheit der Energie auf das deutlichste veranschaulichender Unterschied hinsichtlich der Wirkung dieser Kraft. [839]

a) Die Rückwirkung der Wellenstrahlung auf die Punktladung.

Lorentz hat als Näherung für die Kraft <math>\mathfrak{K}</math>, welche das Elektron infolge der Strahlung erfährt, die Gleichung

<math>\mathfrak{K}=\frac{2}{3}\frac{e^{2}}{c^{3}}\mathfrak{\ddot{q}}</math>

angegeben.[4] Dabei ist e die Ladung, c die Lichtgeschwindigkeit und <math>\mathfrak{\ddot{q}}</math> der zweite Differentialquotient der Geschwindigkeit <math>\mathfrak{q}</math> nach der Zeit. Bei der Ableitung sind alle Glieder, welche in <math>\mathfrak{q},\mathfrak{\dot{q}},\mathfrak{\ddot{q}}</math> usw. quadratisch oder von noch höherer Ordnung sind, vernachlässigt, doch überzeugt man sich leicht, daß kein von den Dimensionen unabhängiges Glied außer dem angegebenen auftreten kann, das nicht <math>\mathfrak{q}</math> als Faktor enthielte. Für <math>\mathfrak{q}=0</math> und Punktladungen gilt demnach diese Gleichung streng, wie groß auch <math>\mathfrak{\dot{q}},\mathfrak{\ddot{q}}</math> usw. sein mögen.

Wir führen nun wie üblich zwei rechtwinklige, in den Achsenrichtungen übereinstimmende, parallel der x-Achse gleichförmig mit der Geschwindigkeit v gegeneinander bewegte Koordinatensysteme ein, das gestrichene {x', y', z', dazu die Zeit t') und das ungestrichene (x, y, z, t). Es läßt sich stets so einrichten, daß in dem Augenblick, den wir herausgreifen, das Elektron im gestrichenen System die Geschwindigkeit 0 hat. Es erfährt dann die Kraft

<math>\mathfrak{K'}=\frac{2}{3}\frac{e^{2}}{c^{3}}\mathfrak{\ddot{q}'}</math>

die wir auf das ungestrichene System transformieren wollen.

Bei Einstein[5] sind die Transformationsformeln für die Geschwindigkeit angegeben (die z-Koordinate ist der y-Koordinate gleichberechtigt):

<math>\mathfrak{q}'_{x}=(\mathfrak{q}_{x}-v)\cdot\frac{c^{2}}{c^{2}-v\mathfrak{q}_{x}},\ \mathfrak{q}'_{y}=\mathfrak{q}_{y}\frac{c\sqrt{c^{2}-v^{2}}}{c^{2}-v\mathfrak{q}_{x}}</math>

Daraus folgt durch Differentiation nach t', bzw. t unter Berücksichtigung der Gleichung [840]

<math>\frac{dt'}{dt}=\frac{c^{2}-v\mathfrak{q}_{x}}{c\sqrt{c^{2}-v^{2}}}</math>[6]
<math>\mathfrak{\dot{q}}'_{x}=\left(\frac{c\sqrt{c^{2}-v^{2}}}{c^{2}-v\mathfrak{q}_{x}}\right)^{2}\mathfrak{\dot{q}}_{x};\ \mathfrak{q}'_{y}=\left(\frac{c\sqrt{c^{2}-v^{2}}}{c^{2}-v\mathfrak{q}_{x}}\right)^{2}\left(\mathfrak{\dot{q}}_{y}+\frac{v\mathfrak{q}_{y}\mathfrak{\dot{q}}_{x}}{c^{2}-v\mathfrak{q}_{x}}\right)</math>;
<math>\mathfrak{\ddot{q}}'_{x}=\left(\frac{c\sqrt{c^{2}-v^{2}}}{c^{2}-v\mathfrak{q}_{x}}\right)^{4}\left(\mathfrak{\ddot{q}}_{x}+\frac{3v\mathfrak{\dot{q}}_{x}^{2}}{c^{2}-v\mathfrak{q}_{x}}\right)</math>;
<math>\mathfrak{\ddot{q}}'_{y}=\left(\frac{c\sqrt{c^{2}-v^{2}}}{c^{2}-v\mathfrak{q}_{x}}\right)^{3}\left(\mathfrak{\ddot{q}}_{y}+v\frac{3\mathfrak{\dot{q}}_{y}\mathfrak{\dot{q}}_{x}+\mathfrak{q}_{y}\mathfrak{\ddot{q}}_{x}}{c^{2}-v\mathfrak{q}_{x}}+\frac{3v^{2}\mathfrak{q}_{y}\mathfrak{\dot{q}}_{x}^{2}}{(c^{2}-v\mathfrak{q}_{x})^{2}}\right)</math>.

Im vorliegenden Fall, wo <math>\mathfrak{q}'=0</math> ist, ist <math>\mathfrak{q}'_{x}=v,\ \mathfrak{q}'_{y}=\mathfrak{q}_{x}=0</math>. Nimmt man dazu, daß unter derselben Voraussetzung

<math>\mathfrak{K}_{x}=\mathfrak{K}'_{x},\ \mathfrak{K}_{y}=\mathfrak{K}'_{y}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}</math>[7]

ist, so findet man:

<math>\mathfrak{K}_{x}=\frac{2e^{2}c}{3(c^{2}-\mathfrak{q}^{2})^{2}}\left(\mathfrak{\ddot{q}}_{x}+\frac{3\left|\mathfrak{q}\right|}{c^{2}-\mathfrak{q}^{2}}\mathfrak{\dot{q}}_{x}^{2}\right)</math>
<math>\mathfrak{K}_{y}=\frac{2e^{2}}{3c(c^{2}-\mathfrak{q}^{2})}\left(\mathfrak{\ddot{q}}_{y}+\frac{3\left|\mathfrak{q}\right|}{c^{2}-\mathfrak{q}^{2}}\mathfrak{\dot{q}}_{y}\mathfrak{\dot{q}}_{x}\right)</math>
<math>\mathfrak{K}_{z}=\frac{2e^{2}}{3c(c^{2}-\mathfrak{q}^{2})}\left(\mathfrak{\ddot{q}}_{z}+\frac{3\left|\mathfrak{q}\right|}{c^{2}-\mathfrak{q}^{2}}\mathfrak{\dot{q}}_{z}\mathfrak{\dot{q}}_{x}\right)</math>.

Man kann das Ergebnis in die Vektorgleichung umschreiben:

<math>\mathfrak{K}=\frac{2e^{2}}{3c(c^{2}-\mathfrak{q}^{2})}\left[\mathfrak{\ddot{q}}+\mathfrak{q}\frac{3(\mathfrak{q\dot{q}})}{c^{2}-\mathfrak{q}^{2}}+\frac{\mathfrak{q}}{c^{2}-\mathfrak{q}^{2}}\left((\mathfrak{q\ddot{q}})+\frac{3(\mathfrak{q\dot{q}})^{2}}{c^{2}-\mathfrak{q}^{2}}\right)\right]</math>,

es stimmt mit Abrahams Resultat[8] genau überein.

Quasistationär ist die Bewegung eines Elektrons, solange diese Kraft zu vernachlässigen ist gegen die zur Beschleunigung proportionale Trägheitswirkung seines Feldes. Da diese in beiden Theorien der Größenordnung nach dieselbe ist, stimmen auch die Grenzen der quasistationären Bewegung in ihnen überein.

b) Die Strahlung gleichförmig bewegter Lichtquellen.

Das einfachste Modell einer Lichtquelle ist ein molekularer, aus zwei gleich, aber entgegengesetzt geladenen Ionen bestehender, [841] im Vakuum befindlicher Dipol von schnell wechselndem Moment. Wir setzen voraus, daß seine Dimensionen klein gegen die Wellenlänge der ausgesandten Strahlung sind, oder bei nichtperiodischen Vorgängen klein gegen die Wellenlängen aller derjenigen Schwingungen, welche bei der Fourierschen Zerlegung der Strahlung in Betracht kommen. Der Einfachheit halber nehmen wir noch an, daß sich nur das eine Ion an den Schwingungen beteiligt. Die Verallgemeinerung ergibt sich leicht, wenn man bedenkt, daß gleiche Verschiebungen der beiden Ladungen im entgegengesetzten Sinne gleichwertig sind.

Auf diesen Dipol wollen wir einige der Gleichungen anwenden, welche Planck[9] für die Dynamik bewegter Körper entwickelt hat. Dabei ist aber zu bedenken, daß molekulare Gebilde weder Temperatur, noch Volumen im Sinne der Thermodynamik besitzen, daß ihr kinetisches Potential H also von diesen Veränderlichen nicht abhängt. Die Folge ist, daß man dort überall den Druck

<math>p=\frac{\partial H}{\partial V}</math>

und die Entropie

<math>S=\frac{\partial H}{\partial T}</math>[10]

Null zu setzen hat.

Dieser Dipol soll nun im gestrichenen System ruhen. Nach Formel 33) der genannten Abhandlung ist dann, da die Bewegungsgröße im gestrichenen System, <math>\mathfrak{G}'</math>, verschwindet, seine Energie, bezogen aufs ungestrichene System:

<math>E=\frac{cE'}{\sqrt{c^{2}-v^{2}}}</math>.

Die pro Zeiteinheit ausgestrahlte Energie ist daher:

<math>-\frac{dE}{dt}=-\frac{c}{\sqrt{c^{2}-v^{2}}}\frac{dE'}{dt'}\frac{dt'}{dt}</math>,

da aber wegen <math>\mathfrak{q}_{x}=v</math>

<math>\frac{dt'}{dt}=\frac{\sqrt{c^{2}-v^{2}}}{c}</math>

[842] ist, folgt

<math>-\frac{dE}{dt}=-\frac{dE'}{dt'}</math>,

das ausgestrahlte Energiequantum pro Zeiteinheit ist in beiden Systemen dasselbe.

Bekanntlich berechnet sich nun die Strahlung eines ruhenden Dipols aus der Beschleunigung <math>\mathfrak{\dot{q}}</math> des bewegten Ions nach der Gleichung:[11]

<math>-\frac{dE'}{dt'}=\frac{2}{3}\frac{e^{2}}{c^{2}}\mathfrak{\dot{q}}^{'2}=\frac{2}{3}\frac{e^{2}}{c^{2}}(\mathfrak{\dot{q}}_{x}^{'2}+\mathfrak{\dot{q}}_{y}^{'2}+\mathfrak{\dot{q}}_{z}^{'2})</math>;

setzt man in den oben angegebenen Transformationsgleichungen für <math>\mathfrak{\dot{q}}</math> <math>\mathfrak{q}_{x}=v,\ \mathfrak{q}_{y}=\mathfrak{q}_{x}=0</math>, so folgt hieraus:

<math>-\frac{dE}{dt}=\frac{2e^{2}c^{2}}{3(c^{2}-\mathfrak{q}^{2})^{2}}\left(\frac{\mathfrak{\dot{q}}_{x}^{2}}{c^{2}-\mathfrak{q}^{2}}+\frac{\mathfrak{\dot{q}}_{y}^{2}+\mathfrak{\dot{q}}_{z}^{2}}{c^{2}}\right)=\frac{2e^{2}c^{2}}{3(c^{2}-\mathfrak{q}^{2})^{2}}\left(\mathfrak{\dot{q}}^{2}+\frac{(\mathfrak{q\dot{q}})^{2}}{c^{2}-\mathfrak{q}^{2}}\right)</math>,

was ebenfalls mit Abrahams Ergebnis[12] übereinstimmt.

Nach Gleichung 46) der genannten Abhandlung hat die Bewegungsgröße im ungestrichenen System den Wert

<math>\mathfrak{G}=\mathfrak{q}\cdot\frac{E}{c^{2}}</math>.

Ein ruhender Dipol kann nun im Mittel keinen Bewegungsantrieb erfahren, weil zu jeder Richtung die entgegengesetzte gleichberechtigt ist In dem betrachteten Fall ruht der Dipol im gestrichenen System. Eine etwaige Beschleunigung wäre ein Zeichen für absolute Bewegung dieses Systems, widerspräche also dem Relativitätsprinzip. Es muß daher seine Geschwindigkeit <math>\mathfrak{q}</math> zum ungestrichenen konstant bleiben. Er verliert demnach durch Ausstrahlung pro Zeiteinheit die Bewegungsgröße

<math>-\frac{d\mathfrak{G}}{dt}=-\mathfrak{q}\cdot\frac{1}{c^{2}}\frac{dE}{dt}=\mathfrak{q}\frac{2e^{2}}{3c(c^{2}-\mathfrak{q}^{2})^{2}}\left(\mathfrak{\dot{q}}^{2}+\frac{(\mathfrak{q\dot{q}})^{2}}{c^{2}-\mathfrak{q}^{2}}\right)</math>.

Auch dies Ergebnis leitet die ältere Theorie ab[13] und schließt, daß der Dipol eine Kraft <math>\mathfrak{K}</math> erfährt, die der Bewegung entgegen [843] gerichtet ist. Die Relativitätstheorie muß diesem Schluß zustimmen. Denn auch in ihr gilt der Impulssatz:

<math>\mathfrak{K}=\frac{d\mathfrak{G}}{dt}</math>.

Aber während der Impuls <math>\mathfrak{G}</math> in der älteren Theorie Funktion der Geschwindigkeit allein ist und jede Kraft die letztere ändern muß, ist es in der Relativitätstheorie möglich, daß eine Kraft statt dessen die Energie und die mit ihr verbundene Trägheit ändert. Dieser Fall tritt bei der bewegten Lichtquelle ein. Die ältere Theorie braucht ferner zur Aufrechterhaltung der gleichförmigen Bewegung eine Kraft, deren Arbeit einen Teil der Energiestrahlung deckt. Nach der Relativitätstheorie stammt diese dagegen ganz aus der Energie der Lichtquelle.

Die angegebenen Werte für die Energie- und Impulsstrahlung gelten, da sie nur von der Beschleunigung des bewegten Elektrons abhängen, auch dann, wenn dies nicht im Verbände eines Dipols schwingt, sondern sich sonst in irgend einer Weise bewegt. Daß die unter a) berechnete Kraft <math>\mathfrak{K}</math> dieselben Werte für die Energie- und Impulsstrahlung liefert, wenn man die Mittelwerte

<math>\frac{1}{T}\int\limits _{t}^{t+T}(\mathfrak{Kq})dt</math>und<math>\frac{1}{T}\int\limits _{t}^{t+T}\mathfrak{K}dt</math>

bildet, ist schon bei Abraham bewiesen.

Für eine ausgedehnte Strahlungsquelle können wir unter Umständen einen ähnlichen Schluß ziehen. Im allgemeinen freilich hat die von einem ruhenden Körper ausgehende Strahlung eine resultierende Bewegungsgröße und übt dementsprechend einen Bewegungsantrieb aus, wie man am einfachsten an dem Beispiel eines mit Strahlung erfüllten Hohlraumes aus vollkommen spiegelnder Substanz ersieht, der nur an einer Stelle eine kleine Öffnung hat. Ist der Körper aber isotrop, homogen und von einer überall konvexen Oberfläche begrenzt, so erleidet er von der Strahlung einen normalen, überall gleichen Druck, welcher keine resultierende Kraft ergibt. Ruht ein solcher im gestrichenen System, so hat er zum ungestrichenen die konstante [844] Geschwindigkeit <math>\mathfrak{q}</math>. Seine Bewegungsgröße ist nach Gleichung 46) der Planckschen Abhandlung

<math>\mathfrak{G}=\mathfrak{q}\cdot\frac{E+pV}{c^{2}}</math>.

Die Strahlung entführt ihm pro Zeiteinheit die Energie

<math>W=-\left(\frac{dE}{dt}+p\frac{dV}{dt}\right)</math>

daß die Bewegungsgröße abnimmt um

<math>-\frac{d\mathfrak{G}}{dt}=\frac{\mathfrak{q}}{c^{2}}\left(W-V\frac{dp}{dt}\right)</math>.

Bleibt die Strahlungsintensität konstant, so gilt dies auch vom Strahlungsdruck und man findet mit Lorentz[14] eine der Geschwindigkeit entgegen gerichtete Kraft

<math>\mathfrak{K}=-\mathfrak{q}\cdot\frac{W}{c^{2}}</math>

Aber im Gegensatz zur älteren Theorie bewirkt diese keine Hemmung der Bewegung, sondern nur eine Verminderung der Trägheit.

Zu erklären ist noch, wie es möglich ist, daß bei demselben Vorgang ein Körper im ungestrichenen System eine Kraft erfährt, im gestrichenen System dagegen keine. Dies scheint zunächst den Transformationsgleichungen der Kraftkomponenten zu widersprechen. Aber die obige Kraft <math>\mathfrak{K}</math> ist keine momentane elektrodynamische Kraft auf eine Punktladung 1, sondern entsteht, indem man solche Kräfte über den ganzen Körper, soweit er von Elektronen erfüllt ist, integriert und dann noch das Mittel für Zeiten bildet, die gegen Lichtperioden lang sind. Die Grenzen der Zeitintegration sind natürlich vom Ort unabhängig. Nun ist aber t' nicht nur Funktion der Zeit t, sondern auch der Koordinate x. Analog gebildete Integrale dieser Art im gestrichenen und im ungestrichenen System beziehen sich daher niemals auf einander entsprechende Integrationsgebiete der Variabelen x', y', z', t' und x, y, z, t. Daher kann man von dem einen nicht unmittelbar auf das andere schließen.


  1. O. Heaviside, Nature 67, 6, 1902.
  2. M. Abraham, Ann. d. Phys. (4) 14, 236, 1904. Theorie der Elektrizität II, Leipzig 1905, besonders § 13 bis 15.
  3. H. A. Lorentz, Proc. Amsterdam 1904, S. 803.
  4. H. A. Lorentz, Enzykl. d. math. Wissensch. V, 1, S. 188, 1903.
  5. A. Einstein, Ann. d. Phys. (4) 17, 891, 1905, § 5 and Jahrb. d. Radioakt. u. Elektronik 4, 411, 1907, Gleichung 3).
  6. Vgl. M. Planck, Ann d. Phys. (4) 26, 1, 1908, Gleichung 13)
  7. M. Planck, l. e., Gleichung 21); A. Einstein, l. c, Gleichung 21).
  8. Vgl. Abrahams Lehrbuch, Gleichung 85).
  9. M. Planck, l. c.
  10. Gleichung 7) daselbst.
  11. Vgl. Abrahams Lehrbuch, Gleichung 55) oder M. Planck, Ann. d. Phys. (4) 9, 619, 1902.
  12. Daselbst, Gleichung 82 b).
  13. Daselbst, Gleichung 83).
  14. H. A. Lorentz, EnzykL d. math. Wissenschaften V, 1, S. 270, 1903.


SemiPD-icon.svg Works by this author are in the public domain in countries where the copyright term is the author's life plus 58 years or less. cs | de | en | eo | es | fr | he | pl | ru | zh
  ▲ top