- SUR L’INDÉTERMINISME DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE
- Par Jacques Solomon
- Sommaire.
On discute dans ce travail la façon dont une théorie déterministe à paramètres cachés peut rendre compte de l’indéterminisme de la mécanique quantique. On montre l’impossibilité mathématique de l’équivalence des deux théories.
Le but de cette courte note est de préciser et de réfuter une idée qui a été mise en avant pour « sauver » le déterminisme défaillant dans le domaine subatomique. Certes, la mécanique quantique (1) forme actuellement une doctrine particulièrement remarquable par son développement logique et libre de toute contradiction. Mais, de même que la nouvelle notion relativiste de simultanéité, liée au fait que la vitesse de la lumière a une grandeur finie, a rencontré de nombreuses résistances avant de s’imposer, de même la théorie quantique, avec sa nouvelle conception de la causalité, liée à la valeur finie du quantum élémentaire d’action, se heurte de façon autrement profonde à nos formes d’intuition basées sur l’expérimentation macroscopique. Ce renoncement peut paraître si douloureux qu’on s’est demandé s’il n’était pas possible par une généralisation convenable (mais restant toujours sur le terrain déterministe) de la théorie classique de l’éviter. C’est de cette hypothèse, qui semble ,la seule possible et que nous appellerons théorie des paramètres cachés, que nous allons nous occuper (2).
Par théorie des paramètres cachés nous entendrons l’ordre d’idées suivant. En mécanique classique il est possible de suivre le développement causal d’un système tout en conservant sa description par les concepts spatio-temporels usuels. En d’autres termes, à chaque instant t nous pouvons mesurer la position et la vitesse du mobile considéré. Particularisons le problème. Considérons le point matériel de la mécanique rationnelle, défini par sa coordonnée (3) x et sa vitesse v, A l’instant t on a
x = f(t), v = g(t),
x et v ne dépendent que de t : à vrai dire, d’autres paramètres entrent en jeu, ce sont la vitesse et la position du point à un instant quelconque t,,, mais ces données initiales sont fixées une fois pour toutes et n’entrent pas à nouveau en jeu à l’occasion de chaque mesure. Donc une fois ce choix fait, à une valeur de t correspondent des valeurs parfaitement déterminées de x et de v.
- (1) Par mécanique quantique, nous entendrons dans ce qui suit exclusivement la mécanique quantique non relativiste. Seule celle-ci en effet forme un ensemble libre de contradictions. La mécanique quantique relativiste - qui n’existe pas encore - semble devoir nécessiter des renoncements encore plus profonds à nos concepts les plus habituels (tels que la conservation de l’énergie par exemple) : Cf. L. Landau et R. Peierts, Z. (1931), 56; adaptation française dans les Actualités de physique théorique (Hermann) ; -- N. Bohr, Faraday Lecture, Journal of the chemical Society (1932); convegno di Fisica nucleare (1931).
- (2) Dans un livre dont j’ai pris connaissance lorsque ce travail était déjà terminé, J. von Neumann (Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik) donne une démonstration de l’impossibilité de cette théorie qui me semble distincte de celle indiquée ci-dessous. Comme celle-ci n’utilise pas, à ce qu’il me semble, le formalisme de l’espace de Hilbert qui peut paraître à certains assez éloigné du réel physique, il nous a paru qu’il y avait peut être intérêt à publier notre démonstration.
- (3) Dans ce qui suit, pour ne pas compliquer les notations, nous n’envisagerons qu’un continuum unidimensionnel. Mais les résultats se laissent immédiatement généraliser à un nombre quelconque de dimensions.
Comme il est bien connu, l’existence du quantum élémentaire d’action crée dans le domaine atomique une situation bien différente. L’interréaction de l’appareil de mesure et de la particule étudiée entraine l’impossibilité d’une mesure simultanée de v et de z. Si nous nous permettons une erreur possible à x sur la position de la particule, on sait que, d’après Heisenberg, on a pour l'erreur possible v sur sa vitesse,
m*delta(v)*delta(x) >= (h/(2*Pi))
lorsque v est faible devant la vitesse de la lumière; dans la formule précédente, h désigne la constante de Planck. Au contraire, x et v sont mesurables avec toute la précision désirée quand ils ne se rapportent pas au instant t.
De ce qui précède il suit que le groupe de relations (1) n’est plus valable dans le domaine de la mécanique quantique. Tout ce que nous pouvons nous donner, ce sont des probabilités de trouver pour x ou v des valeurs déterminées. La probabilité pour que x ait une valeur comprise entre x et x + d x à l’instant t sera
omega*dx = psi(étoile)(x,t)*psi(x,t)*dx
(où l’étoile marque que l’on passe à la quantité conjuguée complexe) et de même la probabilité pour que r ait une valeur comprise entre v est v + dv à l'instant t sera
omega(1)*dv = phi(étoile)(v,t)*phi(v,t)*dv
La relation implicite entre x et v comprise dans (1) (par élimination de 1) est remplacée par
phi(v,t) = sqrt(m/h)*sum(exp((2*Pi*(i/h))*m*v*x)*psi(x,t)*dx),
psi(x,t) = sqrt(m/h)*sum(exp((-2*Pi*(i/h))*m*v*x)*phi(v,t)*dv),
selon la théorie des transformations de Dirac et Jordan.
Dans ces conditions, il est peut-être permis de se poser la question suivante : en mécanique quantique, 1 étant connu, x peut être déterminé, mais v alors est complètement indéterminé, et réciproquement. Est-il possible que cet état de choses provienne de ce que notre représentation de la marche causale des phénomènes est incomplète ; en d’autres termes qu’un (ou plusieurs) paramètre supplémentaire soit nécessaire pour qu’une description causale complète d’un phénomène soit possible. C’est à ces paramètres (de nature inconnue pour le moment) que nous donnerons le nom de paramètres cachés (verborgene Parameter).
On pourra alors se représenter les choses de la façon suivante : (1) sera remplacé par
x = f(t,u), v = g(t,u),
où u représente le paramètre caché. Nous avons supposé, pour simplifier les notations, qu’il suffise d’un paramètre caché, mais les choses se passent de façon identique avec plusieurs paramètres. A une valeur déterminée de t correspond, suivant la valeur de u, une infinité de valeurs de x et l’on comprend que, du moment que ignorons tout de u, tout ce que nous pouvons connaître est la statistique des valeurs possibles de x, corres- pondant à la donnée d’une certaine fonction de répartition (3). D’autre part, lorsque nous faisons une mesure de x, nous prenons consciemment un certain instant t, et inconsciemment une certaine valeur du paramètre caché u1 ; si d’autre part nous voulons mesurer v au même instant t, rien ne peut nous certifier, par définition, puisque c’est un paramètre qui nous échappe actuellement, que nous faisons la mesure de v avec la même valeur du paramètre u1 que pour x ; à une valeur déterminée de x sera donc associée une suite infinie de valeurs de v, rendant compte ainsi du principe d’indétermination.
Remarquons que par inversion des relations (3) et (4), on peut écrire x et v sous une forme très voisine de (6) :
x = f(1)(t,omega); v = g(1)(t,omega(1)).
Les deux paramètres omega et omega 1 ne sont pas indépendants, mais liés implicitement par les relations (5). Il n’est pas très difficile (1) de montrer que cette interdépendance n’est autre chose que le principe d’indétermination (2).
Ainsi donc la conception des paramètres cachés nous permet de nous rendre assez aisément compte de façon qualitative de l’indéterminisme de la mécanique quantique. Sans doute, à ce stade, elle est d’un intérêt assez mince puisqu’elle ne prétend que donner un ensemble de concepts entièrement équivalent à celui de la mécanique quantique. En somme, nous remplaçons le système parfaitement logique de la mécanique quantique, mais d’où la causalité au sens classique est exclue, par un autre système parfaitement déterministe mais comportant l’hypothèse d’éléments naturels inconnus. Irrationnel pour irrationnel, l’avantage est assez médiocre. En réalité, tout l’intérêt de cette théorie des paramètres cachés est qu’elle permet de formuler l’espoir que ces paramètres ne seront pas toujours cachés et que la découverte des éléments de la nature auxquels ils correspondent permettra de restituer la physique dans son cadre déterministe d’antan.
La démonstration qui suit a justement pour but de montrer que cette espérance est vaine. Il est en effet impossible d’édifier une théorie à paramètres cachés qui soit équivalente du point de vue logique à la mécanique quantique.
Remarquons tout d’abord que le fait que omega et omega 1 ne présentent pas de relation simple rend déjà improbable l’existence de relations telles que (6). On peut préciser ceci de la façon suivante.
Si d’après (2) nous pouvons nous attendre à trouver pour x toutes les valeurs possibles, il n’en est pas moins vrai que certaines valeurs sont plus fréquemment rencontrées que d’autres. C’est ainsi que si nous mesurons la position de l’électron dans un atome d’hydrogène situé dans un certain état quantique, nous trouverons une prédominance très sensible pour le voisinage de l’ancienne orbite de Bohr correspondant à cet état quantique. Les préceptes généraux de la mécanique quantique nous indiquent que la valeur moyenne de x, x barre, est donnée par
x(barre) = sum(x*omega(x,t)*dx)
de même pour v
v(barre) = sum(v*omega(1)(v,t)*dv)
le delta x et le delta v qui figurent dans (2) étant définis par
delta(x) = x - x(barre),
delta(v) = v - v(barre),
De façon plus générale (2) la valeur moyenne de x^n est donnée par
(x^n)(barre) = sum((x^n)*omega(x,t)*dx)
Passons maintenant à la théorie des paramètres cachés. Soit une grandeur F(t,u). Il va sans dire que là aussi nous devons retrouver la notion de valeur moyenne, qui résultera évidemment d’une moyenne prise sur toutes les valeurs possibles de u. En d’autres termes, la valeur moyenne F(t) de F(t,u) sera donnée par
F(barre)(t) = U*F(t,u)
- (1) W. HEISENBERG, Physikalische Prinzipien der Quantentheorie, p. 12.
- (2) On sait que la donnée des valeurs moyennes successives x barre, x^2 barre, ..., x^n barre est équivalente à la donnée de la fonction omega barre (x, t). C’est là le célèbre problème des moments auquel reste attaché le nom de Stieltjes.
où U représente un opérateur. Il est d’autre part évident que la moyenne de F + G doit être égale à F barre + G barre (L’opérateur U est donc linéaire et il est possible, sous des conditions très générales de continuité (toujours vérifiées dans les problèmes physiques) de mettre l’opération sous forme intégrale :
F(barre)(t) = sum(F(t,u)*G(u)*du)
où G (u) désigne le noyau de l’opérateur U. Par un simple changement de variable, on obtient
F(barre)(t) = sum(F(t,w)*dw)
Appliquons cette relation à la grandeur (x^n) = (f^n) (t,w) :
(x^n)(barre) = sum((f^n)(t,w)*dw)
Comparons maintenant avec le résultat de la mécanique quantique (1 i) que nous écrirons, en changeant simplement le nom des lettres
(x^n)(barre) = sum((u^n)*omega(w,t)*dw)
Les deux valeurs de x^n données par (15) et (16) devant être identiques quel que soit t, on doit avoir identiquement
(f^n)(t,w) = (w^n)*omega(w,t)
Or cette relation ne peut être vérifiée quel que soit n que lorsque
omega(w,t) = 1
ce qui n’a évidemment lieu que dans des conditions très spéciales. Il est donc impossible d’obtenir une équivalence générale entre la théorie quantique et la théorie des paramètres cachés.
Si l’on remarque que la donnée des valeurs moyennes successives x barre, x^2 barre..., est équivalente à celle de la probabilité omega (x, t), le sens de la démonstration précédente est que, quelle que soit l’analogie qualitative qui existe entre (6) et (3) (et sur laquelle nous avons déjà insisté) une identité quantitative est impossible, on ne retrouve pas la loi de probabilité (3).
Comme les hypothèses dont nous sommes partis pour définir la théorie des paramètres cachés nous semblent bien être les plus larges possibles, compatibles avec la théorie quantique, la démonstration qui précède nous semble être de nature à éliminer définitivement ce dernier espoir d’une théorie déterministe des phénomènes atomiques.
- Manuscrit reçu le 13 novembre 1932.
- Source: site internet HAL Archives Ouvertes
- Mise en page par Paul-Eric Langevin